測量

【後方交会法】2点からの器械点座標計算手順|誤差の計算方法

まさあき

このブログでは「後方交会法」の計算方法についてお話しします。

2つの既知点(座標点)からトータルステーション(TS)の位置(座標)を計算します。

この測量方法は、土工事の丁張設置などの現場測量におススメです。

数学と測量との違い

測量で使う座標は縦軸を「X」、横軸を「Y」とします。

数学では「縦軸」が「Y」、横軸が「X」でしたね。

そして、トランシットによる角度の読み方も違います。

分度器は、「反時計回り」で0度~180度だったのに対して、測量では「時計回り」で0度から360度までを計ります。

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測量

トータルステーション(TS)を任意の場所に据付け、器械点「KP」とします。

既知点「T1」を視準し、水平角度を「0セット」します。そして水平距離「b」を測定します。

次に既知点「T2」を視準して、水平角度「A」と水平距離「c」を測定します。

誤差の確認

測量した水平距離と水平角度から「T1」と「T2」の座標間の距離「a」を「余弦定理」で計算して求めます。

その結果と、座標の値を「三平方の定理」で計算した「a」と、どのくらい誤差があるのかを確認します。

測量した距離と角度からT1~T2間「a」を算出

T1からT2までの水平距離「a」を、測量で実測した水平距離「b」「c」と水平角度「A」から算出します。

算出方法は「余弦定理」です。

$$a^2=b^2+c^2-2bc cosA$$

この公式に測量した値を代入します。

$$a^2=141.080^2+128.251^2-2×141.080×128.251×cos101°12’20″$$

$$a^2=36351.885401-36187.30216×cos101.20555556$$

$$a=208.289$$

したがって、T1~T2までの距離「a」は208.289mとなりました。

座標からT1~T2間「a」を算出

「T1」と「T2」の座標値から「三平方の定理」で「a」を算出します。

T1(162.671,21.429)とT2(88.922,216.225)のそれぞれ「X」と「Y」の差を計算します。

$$T1X-T2X=162.671-88.922=73.749$$

$$T1Y-T2Y=21.429-216.225=-194.796$$

「X」と「Y」の差から三平方の定理で「a」を算出します。

$$a^2=x^2+y^2$$

$$a=\sqrt{73.749^2+194.796^2}$$

$$a=208.289$$

したがって、T1~T2までの距離「a」は208.289mとなりました。

誤差

現地を測量した値から「余弦定理」で算出した値と、座標値から「三平方の定理」で算出した値の差が「誤差」になります。

余弦定理で求めた値 a=208.289m

三平方の定理で求めた値 a=208.289m

誤差 0.000m

となりました。

誤差が大きい場合は、器械点の位置と後視点(T1,T2)の位置関係が二等辺三角形に近くなるようにし、夾角を90度から120度の間に納まるようにしましょう。

夾角が狭すぎたり広すぎたりすると、誤差が大きくなります。

器械点「KP」の座標計算

器械点「KP」のXY座標を求めていきましょう。

最初に角度「B」か「C」を正弦定理で算出します。

今回は「C」を計算してみましょう。

角度「C」の計算

角度Cを正弦定理を使って算出します。

$$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$$

$$\frac{208.289}{sin101°12’20”}=\frac{128.251}{sinC}$$

$$\frac{128.251}{208.289}sin101.2055556=sinC$$

$$C=37.156746975=37°9’24″$$

したがって、角度「C」は37°9’24”となります。

線「a」の方向角「D」の計算

方向角「D」を計算するには、方向角「D」=d+90度からなるので、角度「d」を三角関数で算出します。

$$tand=\frac{73.749}{194.796}$$
$$d=20°44’11″$$
方向角D=d+90
$$D=20°44’11″+90=110°44’11″$$
したがって、方向角D=110°44’11となります。

線「b」の方向角「E」の計算

角度「C」と方向角Dを合わせて線「b」の方向角「E」を計算します。
$$E=C+D=37°9’24″+110°44’11″=147°53’35″$$
したがって、線bの方向角「E」は147°53’35”となります。

器械点「KP」の座標計算

方向角「E」から器械点「KP」の座標を計算します。

角度「F」を求めて、三角関数で「KPx」と「KPy」を算出しましょう。

最初に角度「F」から求めます。

$$F=180°-E=180°-147°53’35″$$

$$F=32°6’25″$$

次にKPyを求めます。

$$sinF=\frac{KPy}{b}$$

$$sin32°6’25″=\frac{KPy}{141.080}$$

$$KPy=74.984$$

したがって「KPy」=74.984mとなりました。

続いてKPxを求めます。

$$cosF=\frac{KPx}{b}$$

$$cos32°6’25″=\frac{KPx}{141.080}$$

$$KPx=119.503$$

したがって、「KPx」=119.503mとなります。

最後に基準となった「T1」のXY座標から「KPx」と「KPy」をそれぞれ加えて「KP」の座標を算出しましょう。

「KPx」は下向きなので「ー」、「KPy」は右向きなので「+」とします。

$$KPのX座標=162.671-119.503=43.168$$

$$KPのY座標=21.429+74.984=96.413$$

したがって、器械点「KP」の座標は

KP(43.168,96.413)

となります。

おわりに

このブログでは後方交会法の計算方法についてお話ししました。
「後方交会法」は2点の既知点(座標点)から任意に据付けした「器械点の座標」を求める測量です。

この測量は後視2点までの角度と距離を使って計算するので、計算上の誤差を含む可能性があります。

土工事などの現場測量に利用して、正確さを要する構造物などの測量は、座標点に器械を設置して測量することをおススメします。

今回使用した公式は「正弦定理」「余弦定理」「三平方の定理」「三角関数」の4つになります。

皆様の参考になれば幸いです。
最後まで読んでいただきありがとうございました。

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まさあき
まさあき
土木施工管理技士
「まさあき」と申します。
土木施工管理歴30年。
地場の小さな建設会社に勤務しております。
1級土木、2級管工事、2級舗装、測量士、砕石業務管理者を保有しております。
このブログは、工事現場に関する「施工管理」・「測量」・「CAD(HO_CAD)」・「パソコン」などについて発信しています。
参考にしていただけると嬉しいです。
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