【XY座標】と【角度】は測量と算数で「逆」になります
まさあき
土木施工管理サポートブログ
【後方交会法】2点からの「器械点座標」計算手順を分かりやすく解説
まさあき
このブログでは「後方交会法」の計算方法についてお話しします。
２つの既知点（座標点）からトータルステーション（TS）の位置（座標）を計算します。
この測量方法は、土工事の丁張設置などの現場測量におススメです。
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Contents
測量
トータルステーション（TS）を任意の場所に据付け、器械点「KP」とします。
既知点「T1」を視準し、水平角度を「０セット」します。そして水平距離「ｂ」を測定します。
次に既知点「T2」を視準して、水平角度「Ａ」と水平距離「ｃ」を測定します。
誤差の確認
測量した水平距離と水平角度から「T1」と「T2」の座標間の距離「a」を「余弦定理」で計算して求めます。
その結果と、座標の値を「三平方の定理」で計算した「a」と、どのくらい誤差があるのかを確認します。
測量した距離と角度からT1～T2間「a」を算出
T1からT2までの水平距離「a」を、測量で実測した水平距離「ｂ」「ｃ」と水平角度「Ａ」から算出します。
算出方法は「余弦定理」です。
$$a^2=b^2+c^2-2bc cosA$$
この公式に測量した値を代入します。
$$a^2=141.080^2+128.251^2-2×141.080×128.251×cos101°12’20″$$
$$a^2=36351.885401-36187.30216×cos101.20555556$$
$$a=208.289$$
したがって、T1～T2までの距離「a」は208.289ｍとなりました。
座標からT1～T2間「a」を算出
「T1」と「T2」の座標値から「三平方の定理」で「a」を算出します。
T1(162.671,21.429)とT2(88.922,216.225)のそれぞれ「Ｘ」と「Ｙ」の差を計算します。
$$T1X-T2X=162.671-88.922=73.749$$
$$T1Y-T2Y=21.429-216.225=-194.796$$
「Ｘ」と「Ｙ」の差から三平方の定理で「a」を算出します。
$$a^2=x^2+y^2$$
$$a=\sqrt{73.749^2+194.796^2}$$
$$a=208.289$$
したがって、T1～T2までの距離「a」は208.289ｍとなりました。
誤差
現地を測量した値から「余弦定理」で算出した値と、座標値から「三平方の定理」で算出した値の差が「誤差」になります。
- 余弦定理で求めた値 a=208.289m
- 三平方の定理で求めた値 a=208.289m
- 誤差 0.000m
となりました。
誤差が大きい場合は、器械点の位置を後視点(T1,T2)の位置関係が2等辺三角形に近くなるようにし、夾角が90度から120度の間に収まるようにしましょう。
挟角が狭すぎたり広すぎたりすると、誤差が大きくなります。
器械点「KP」の座標計算
器械点「KP」のXY座標を求めていきましょう。
最初に角度「B」か「C」を正弦定理で算出します。
今回は「C」を計算してみましょう。
角度「C」の計算
角度Cを正弦定理を使って算出します。
$$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$$
$$\frac{208.289}{sin101°12’20”}=\frac{128.251}{sinC}$$
$$\frac{128.251}{208.289}sin101.2055556=sinC$$
$$C=37.156746975=37°9’24″$$
したがって、角度「C」は３７°９’２４”となります。
線「a」の方向角「D」の計算
方向角「D」を計算するには、方向角「D」＝ｄ＋90度からなるので、角度「ｄ」を三角関数で算出します。
$$tand=\frac{73.749}{194.796}$$
$$d=20°44’11″$$
方向角D＝ｄ+90
$$D=20°44’11″+90=110°44’11″$$
したがって、【方向角D＝110°44′11″】となります。
線「ｂ」の方向角「E」の計算
角度「C」と方向角「D」を合わせて、線「ｂ」の方向角「Ｅ」を計算します。
$$E=C+D=37°9’24″+110°44’11″=147°53’35″$$
したがって、線「b｣の方向角「E」は147°53′35″となります。
器械点「KP」の座標計算
方向角「E」から器械点「KP」の座標を計算します。
角度「F」を求めて、三角関数で「KPx」と「KPy」を算出しましょう。
最初に角度「Ｆ」から求めます。
$$F=180°-E=180°-147°53’35″$$
$$F=32°6’25″$$
次にKPyを求めます。
$$sinF=\frac{KPy}{b}$$
$$sin32°6’25″=\frac{KPy}{141.080}$$
$$KPy=74.984$$
したがって「KPy」＝74.984ｍとなりました。
続いてKPxを求めます。
$$cosF=\frac{KPx}{b}$$
$$cos32°6’25″=\frac{KPx}{141.080}$$
$$KPx=119.503$$
したがって、「KPx」＝119.503ｍとなります。
最後に基準となった「Ｔ１」のＸＹ座標から「KPx」と「KPy」をそれぞれ加えて「KP」の座標を算出しましょう。
「KPx」は下向きなので「ー」、「KPy」は右向きなので「＋」とします。
$$ＫＰのＸ座標=162.671-119.503＝43.168$$
$$ＫＰのＹ座標＝21.429+74.984＝96.413$$
したがって、器械点「ＫＰ」の座標は
ＫＰ（43.168,96.413)
となります。
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3点からの【後方交会法】器械点座標計算手順｜誤差の計算方法
おわりに
このブログでは後方交会法の計算方法についてお話ししました。
「後方交会法」は２点の既知点（座標点）から任意に据付けした「器械点の座標」を求める測量です。
この測量は後視２点までの角度と距離を使って計算するので、計算上の誤差を含む可能性があります。
土工事などの現場測量に利用して、正確さを要する構造物などの測量は、座標点に器械を設置して測量することをおススメします。
今回使用した公式は「正弦定理」「余弦定理」「三平方の定理」「三角関数」の４つになります。
皆様の参考になれば幸いです。
最後まで読んでいただきありがとうございました。
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ABOUT ME
川下政明（かわしもまさあき）と申します。
土木施工管理歴３０年。
地場の建設会社に勤務しております。
1級土木、2級管工事、2級舗装、測量士、砕石業務管理者を保有しております。
このブログは、工事現場に関する「施工管理」・「測量」・「HO_CAD」・「JW-CAD」・「パソコン」などについて発信しています。
参考にしていただけると嬉しいです。
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