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【後方交会法】入門:2つの座標点から器械点座標の計算方法ガイド

まさあき
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「後方交会法」の計算方法について解説します。

2つの既知点(座標点)から、任意の位置に据付けたトータルステーションの器械点XY座標「KP」を関数電卓で使って計算します。

この測量方法は、丁張設置などの現場測量におススメです。

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測量

トータルステーション(TS)を任意の場所に据付け、器械点「KP」とします。

既知点「T1」を視準し、水平角度を「0セット」します。そして水平距離「b」を測定します。

次に既知点「T2」を視準して、水平角度「A」と水平距離「c」を測定します。

この測量結果から、器械点「KP」のXY座標を計算していきましょう。

T1~T2間の距離「a」を算出

T1からT2までの水平距離「a」を、測量で実測した水平距離「b」「c」と水平角度「A」から算出します。

算出方法は「余弦定理」です。

$$a^2=b^2+c^2-2bc cosA$$

この公式に測量した値を代入します。

$$a^2=141.080^2+128.251^2-2×141.080×128.251×cos101°12’20″$$

$$a^2=36351.885401-36187.30216×cos101.20555556$$

$$a=208.289$$

ということで、T1~T2までの距離「a」は208.289mとなりました。

角度「C」の計算

最初に角度「B」か「C」を正弦定理で算出します。

今回は「C」を計算してみましょう。

角度Cを正弦定理を使って算出します。

$$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$$

$$\frac{208.289}{sin101°12’20”}=\frac{128.251}{sinC}$$

$$\frac{128.251}{208.289}sin101.2055556=sinC$$

$$C=37.156746975=37°9’24″$$

ということで、角度「C」は37°9’24”となります。

線「a」の方向角「D」の計算

方向角「D」を計算するには、方向角「D」=d+90度からなるので、角度「d」を三角関数で算出します。

$$tand=\frac{73.749}{194.796}$$

$$d=20°44’11″$$

方向角D=d+90

$$D=20°44’11″+90=110°44’11″$$

ということで、【方向角D=110°44′11″】となります。

線「b」の方向角「E」の計算

角度「C」と方向角「D」を合わせて、線「b」の方向角「E」を計算します。

$$E=C+D=37°9’24″+110°44’11″=147°53’35″$$

したがって、線「b」の方向角「E」は147°53′35″となります。

T1からKPまでのXY軸距離「KPx」と「KPy」の計算

方向角「E」から器械点「KP」の座標を計算します。

角度「F」を求めて、三角関数でT1からKPまでのXY軸距離「KPx」と「KPy」を算出しましょう。

角度Fの計算

最初に角度「F」から求めます。

$$F=180°-E=180°-147°53’35″$$

$$F=32°6’25″$$

T1からKPまでのY軸距離の計算

次にKPyを求めます。

$$sinF=\frac{KPy}{b}$$

$$sin32°6’25″=\frac{KPy}{141.080}$$

$$KPy=74.984$$

ということで「KPy」=74.984mとなります。

T1からKPまでのX軸距離の計算

続いてKPxを求めます。

$$cosF=\frac{KPx}{b}$$

$$cos32°6’25″=\frac{KPx}{141.080}$$

$$KPx=119.503$$

ということで、「KPx」=119.503mとなります。

器械点「KP」の座標計算

最後に基準となった「T1」のXY座標から「KPx」と「KPy」をそれぞれ加えて「KP」の座標を算出しましょう。

T1から見て「KPx」は下向きなので「マイナス」します。
T1から見て「KPy」は右向きなので「プラス」します。

$$KPのX座標=162.671-119.503=43.168$$

$$KPのY座標=21.429+74.984=96.413$$

器械点座標「KP」の計算結果

ということで、器械点「KP」の座標は

X=43.168
Y=96.413

となります。

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おわりに

このブログでは後方交会法の計算方法についてお話ししました。
「後方交会法」は2点の既知点(座標点)から任意に据付けした「器械点の座標」を求める測量です。

この測量は後視2点までの角度と距離を使って計算するので、計算上の誤差を含む可能性があります。

土工事などの現場測量に利用して、正確さを要する構造物などの測量は、座標点に器械を設置して測量することをおススメします。

今回使用した公式は「正弦定理」「余弦定理」「三平方の定理」「三角関数」の4つになります。

皆様の参考になれば幸いです。
最後まで読んでいただきありがとうございました。

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川下 政明
川下 政明
土木施工管理技士
川下政明(かわしもまさあき)と申します。
土木施工管理歴30年。
地場の建設会社に勤務しております。
1級土木、2級管工事、2級舗装、測量士、砕石業務管理者を保有しております。
このブログは、工事現場に関する「施工管理」・「測量」・「HO_CAD」・「JW-CAD」・「パソコン」などについて発信しています。
参考にしていただけると嬉しいです。
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