つり合いと反力とは？支点の反力の求め方を新入社員向けに解説

構造力学入門シリーズ 第4回｜建設ナビかわしも

この記事の結論

構造物が動かないのは、力がつり合っているからです。

荷重を支点が同じだけ押し返す力を反力といい、これを求めるのが構造計算の第一歩。

反力の数が「つり合いの式3つ」でちょうど解ける梁を静定といい、電卓と紙で計算できます。

この記事では、つり合いの3条件・支点3種類・静定と不静定・反力の計算までを、新人施工管理や土木の入門者に向けて、順番にやさしく解説します。

つり合いと反力とは？（結論）

橋の上を何十トンものトラックが通っても、橋はびくともしません。重いものを支えているのに動かないのは、力がつり合っているからです。

上から加わる力を荷重（外力）といいます。荷重がかかると、支えているところ（支点）が同じ大きさの力で下から押し返します。この押し返す力が反力です。

荷重は下向き、反力は上向き。この2つがちょうどつり合うので、構造物は静止して動きません。だから、反力を求めることが、構造計算のいちばん最初の一歩になります。

つり合いの3条件（ΣH=0・ΣV=0・ΣM=0）

「つり合っている」といえるのは、次の3つが同時に成り立つときです。なお、Σ（シグマ）はギリシャ文字で「合計」を表す記号です。

この「横にずれない・上下に動かない・回転しない」の3つがそろうと、構造物は完全に静止します。この3つが、あとで反力を計算するときの道具になります。

支点は3種類｜反力の数で覚える

覚え方はこれだけ

止めた動きの数だけ、反力が生まれる。支点が動きを止める方向にだけ、押し返す力（反力）が出ます。自由に動ける方向には反力は出ません。

① 移動支点（ローラー）＝ 反力1つ

コロ（丸い車輪）の上に乗っているイメージです。縦（上下）は地面が押し上げて止めるので鉛直反力が生まれます。横はコロが転がって自由、回転も自由なので、水平反力もモーメント反力もありません。止めているのは縦だけ。だから反力は鉛直の1つです。橋の温度伸縮を逃がす支承がこれです。

② 回転支点（ピン）＝ 反力2つ

1本のピン（軸）で梁を留めているイメージです。縦も横もピンが固定するので、鉛直反力と水平反力が生まれます。ただし回転はピンの周りで自由なので、モーメント反力はありません。止めているのは縦と横。だから反力は鉛直＋水平の2つ。単純梁の片側はたいていこれです。

③ 固定支点（固定端）＝ 反力3つ

壁にガッチリ埋め込んだ（溶接した）イメージです。縦・横を止めるので鉛直反力と水平反力があり、さらに傾こうとするのも壁が押し戻すので、モーメント反力も生まれます。縦・横・回転すべてを止めるので、反力は鉛直＋水平＋モーメントの3つ。片持ち梁の壁側の付け根がこれです。

梁ぜんたいの反力を数える

支点1つあたりの反力がわかったら、次は1本の梁ぜんたいで反力を合計します。梁は両端や複数の場所を支点で支えるので、その反力を全部足し算します。

この反力の合計が、手で解けるかどうかを決めるカギになります。

静定・不静定とは？なぜ3つの式で解けるのか

反力は、大きさが最初はわからない求めたい未知数です。

その数は、いま数えた反力の合計。

一方、反力を求める道具はつり合いの式3つ（ΣH=0・ΣV=0・ΣM=0）だけで、どんな構造でも増えも減りもしません。

連立方程式と同じ考え方

中学の連立方程式を思い出してください。

文字（未知数）の数と式の数が同じなら解けます。

文字3つなら式3つで解ける。

文字4つで式3つだと、答えが1つに決まりません。

反力（未知数）と式（3つ）も、これと同じです。

静定は、反力と式がどちらも3つでぴったり。

だから電卓と紙で解けます。

不静定は反力が式より多く、つり合いの式だけでは解けません。

部材のたわみ（変形）まで計算する必要があり、コンピュータの構造解析ソフトを使います。

この記事では、手で解ける静定の梁で反力の求め方を練習します。

反力の解き方3ステップ

反力は、次の順番で解くのが基本です。この順番がとても大事です。

1ΣM ＝ 0（片方の支点を中心に、回転のつり合い）

→ もう片方の反力が求まる

2ΣV ＝ 0（上下の力のつり合い）

→ 残りの反力が求まる

3ΣH ＝ 0（左右の力のつり合い）

→ 水平反力を確認（横向きの荷重がなければ 0）

計算のコツ

モーメントの基準点は、反力の1つが乗っている支点に置きます。その支点の反力は中心からの距離が0になり、式から消えるので、計算がぐっと楽になります。

計算例｜単純梁に40kN

全長10mの単純梁。

左端がピン支点でA点、右端がローラー支点でB点。

左から6mの位置に40kNの集中荷重がかかっています。（kN＝キロニュートンは力の大きさの単位、集中荷重＝1点に集まる荷重です。）

支点の反力 Ra・Rb を求めます。

反力は上向きを＋と仮定します。

1ステップ1：ΣM＝0（A点を中心に回転のつり合い）

モーメントは「力 × 距離」で計算します。

荷重が右に回す力　＝ 40 × 6 ＝ 240

Rb が左に戻す力　＝ Rb × 10

つり合い： 240 ＝ Rb × 10

→ Rb ＝ 240 ÷ 10 ＝ 24kN

※ A点の反力は距離0なので回転に効かず、式から消えます。

2ステップ2：ΣV＝0（上下の力のつり合い）

上向き（Ra＋Rb）＝ 下向き（40kN）　→　Ra ＋ Rb ＝ 40

→ Ra ＝ 40 － 24 ＝ 16kN

3ステップ3：ΣH＝0（左右の力のつり合い）

横向きの荷重がない　→　Ha ＝ 0

答え： Ra ＝ 16kN　　Rb ＝ 24kN　　Ha ＝ 0

検算（確かめ）

Ra ＋ Rb ＝ 16 ＋ 24 ＝ 40 ＝ 荷重P。反力の合計が荷重と一致するので、ちゃんとつり合っています。

現場での意味と、初心者のミス

この計算は、現場では「壊れない条件」そのものです。たとえば擁壁（土を支える壁）を思い浮かべてください。

つり合いの3条件は、そのまますべらない・沈まない・倒れないという安定の条件になっています。支点は、実際の橋では支承や基礎にあたります。

初心者がやりがちなミス3つ

✓反力の向きを先に仮定する（上向きを＋）。あとで符号のミスを防げます。

✓可動支点と回転支点を取り違えない。反力の数が1つと2つで変わります。

✓モーメントの基準点は反力の1つに置く。式が短くなり、計算が楽になります。

まとめ（完了チェック）

つり合いと反力は、構造力学の土台です。ここがわかると、この先の勉強がぐっと楽になります。次のチェックがすべて言えれば、この単元はクリアです。

✓つり合いの3条件（ΣH＝0・ΣV＝0・ΣM＝0）を説明できる

✓支点3種類と反力の数（ローラー1・ピン2・固定3）を見分けられる

✓梁ぜんたいの反力の合計を数えられる

✓静定・不静定を判別できる（反力の数と式3つを比べる）

✓ΣM→ΣV→ΣH の順で単純梁の反力を計算できる

✓検算（反力の合計＝荷重）で確かめられる

よくある質問

Q. 反力とは何ですか？

A. 荷重を支点が支え返す力です。荷重とつり合うことで、構造物を静止させています。

Q. 静定と不静定の違いは？

A. 反力の数がつり合いの式3つと同じ（3つ）なら静定で、手計算できます。反力が4つ以上だと不静定で、式が足りず手計算では解けません（コンピュータ解析が必要）。

Q. 支点の反力の数の覚え方は？

A. 「止めた動きの数だけ反力が出る」と覚えます。ローラーは縦だけ止めて1つ、ピンは縦横で2つ、固定は縦横回転すべて止めて3つです。

Q. モーメントの基準点はどこに取ればよいですか？

A. 反力の1つが乗っている支点に取ります。その反力は距離0で式から消えるので、もう片方の反力が一発で求まります。

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川下　政明（かわしも　まさあき）

土木施工管理技士

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川下政明（かわしもまさあき）です。
土木施工管理歴３０年以上のベテラン施工管理技士として、現場のリアルを発信中！
■施工管理のノウハウ
■測量のコツ・CADの活用法
■AIを使った業務効率化
【保有資格】
・1級土木施工管理技士
・2級管工事施工管理技士
・2級舗装施工管理技士
・測量士
・採石業務管理者など
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